Wurzelrechner: Wurzel ziehen mit dem Online-Rechner

Wurzeln tauchen in der Schule, im Studium und im Alltag öfter auf, als man denkt. Manchmal geht es schnell im Kopf, manchmal ist es eher zäh. Genau dann hilft ein Wurzelrechner, um Ergebnisse zügig zu prüfen oder sauber zu bestimmen.

Der Wurzelrechner

Mit dem Wurzelrechner kannst du die Quadratwurzel berechnen, aber auch jede andere n-te Wurzel. Du gibst den Radikanden ein, also die Zahl unter dem Wurzelzeichen, und den Wurzelexponenten, also den Grad der Wurzel. Danach bekommst du das Ergebnis in Dezimaldarstellung, bei Bedarf zusätzlich in wissenschaftlicher Schreibweise.

Was sind Wurzeln (mathematisch)?

Eine Wurzel ist im Grunde die Umkehrung einer Potenz. Möchtest du mehr zum Thema Potenzen wissen? Dann schau dir gerne unseren Online-Potenzrechner an.

Wenn du zum Beispiel weißt, dass 9 = 3² ist, dann ist die Quadratwurzel aus 9 gleich 3. Allgemein bedeutet die n-te Wurzel aus einer Zahl a: Du suchst eine Zahl x, die hoch n wieder a ergibt.

Mathematisch schreibt man das so:

ⁿ√a = x genau dann, wenn xⁿ = a.

Bei der Quadratwurzel (n = 2) ist das besonders häufig. Aber auch dritte, vierte oder fünfte Wurzeln kommen vor, etwa bei Volumen, Skalierungen oder Formeln aus Naturwissenschaften.

Wichtig ist die Unterscheidung: Im Bereich der reellen Zahlen gilt bei geradem Wurzelexponenten, dass der Radikand nicht negativ sein darf. Bei ungeradem Exponenten geht es auch mit negativen Radikanden, weil eine ungerade Potenz das Vorzeichen beibehält.

So rechnet der Online-Wurzelrechner

Im Hintergrund nutzt der Rechner eine einfache, aber sehr zuverlässige Idee: Eine Wurzel kann als Potenz mit Bruch dargestellt werden. Die n-te Wurzel aus a ist dasselbe wie a hoch 1/n. Also:

ⁿ√a = a^1/n

Damit kann der Rechner auch dann arbeiten, wenn der Wurzelexponent keine ganze Zahl ist. Allerdings stößt man im Reellen bei negativen Radikanden schnell an Grenzen. Darum gilt hier eine klare Regel:

• Ist der Radikand negativ, muss der Wurzelexponent eine ganze Zahl sein.
• Außerdem muss er ungerade sein, damit ein reelles Ergebnis möglich ist.

Ein Beispiel: Die dritte Wurzel aus −8 ist −2, denn (−2)³ = −8. Dagegen ist die vierte Wurzel aus −16 im Reellen nicht definiert.

Für viele Eingaben kann das Ergebnis sehr groß oder sehr klein werden. Deshalb zeigt der Rechner zusätzlich eine wissenschaftliche Schreibweise, also eine Darstellung mit Zehnerpotenzen. Das ist praktisch, wenn du nicht mit langen Zahlenketten kämpfen willst.

Typische Anwendungen für die Wurzelrechnung

Wurzeln sind keine reine Schulübung. Sie stecken in vielen Situationen, in denen etwas mit Quadraten, Flächen oder Abständen zu tun hat, und überall dort, wo Größen “zurückgerechnet” werden.

• Geometrie: Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken, Diagonalen, Abstände im Koordinatensystem.
• Physik: Formeln mit Quadraten, zum Beispiel bei Geschwindigkeiten, Energien oder Schwingungen.
• Statistik: Standardabweichung und verwandte Größen arbeiten oft mit Quadratwurzeln.
• Technik: Skalierungen, Normen, Berechnungen von Toleranzen oder Messfehlern.
• Alltag: Flächen umrechnen, zum Beispiel wenn du aus einer Fläche eine Seitenlänge ableiten willst.

Oft merkst du: Sobald irgendwo ein Quadrat auftaucht, ist die Wurzel nicht weit. Und sobald du eine Potenz “rückgängig” machen möchtest, landest du sehr schnell bei der passenden Wurzel.

Beispiele für das Ziehen von Wurzeln

Ein paar typische Beispiele helfen, ein Gefühl für Wurzeln zu behalten. Viele dieser Zahlen begegnen dir in Aufgaben immer wieder:

• Quadratwurzeln aus Quadratzahlen: √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10.
• Quadratwurzel, die nicht “glatt” ist: √2 ≈ 1,4142 und √3 ≈ 1,732. Solche Ergebnisse sind meist irrational und enden nicht.
• Dritte Wurzeln: ³√8 = 2, ³√27 = 3, ³√64 = 4, ³√125 = 5.
• Vierte Wurzeln: ⁴√16 = 2, ⁴√81 = 3, ⁴√256 = 4.
• Negative Radikanden bei ungeradem Exponenten: ³√(−8) = −2 und ⁵√(−32) = −2.

Ein typischer Stolperstein ist die Verwechslung von √(a + b) mit √a + √b. Das ist im Allgemeinen falsch. Zum Beispiel ist √(9 + 16) = √25 = 5, aber √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Der Unterschied ist groß genug, dass er dir schnell eine Aufgabe zerschießt.

Wenn du Ergebnisse aus dem Kopf überschlägst, lohnt sich ein kurzer Plausibilitätscheck: Liegt das Ergebnis zwischen zwei passenden Quadratzahlen oder Kubikzahlen. Bei √50 weißt du zum Beispiel: 49 hat die Wurzel 7 und 64 hat die Wurzel 8, also muss √50 irgendwo knapp über 7 liegen.

FAQ zum Thema Wurzeln berechnen